Encontre a solução de cada problema de valor inicial a seguir:
ly^prime prime+5 y^prime+6 y=4 t e^-t y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homógeneo. Precisamos resolver
y'' + 5y' + 6y = 4t e^-t, y(0)=0,;y'(0)=1
Para isso, vamos (1) achar a solução geral da homogênea, (2) encontrar uma solução particular, (3) aplicar as condições iniciais.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + 5y' + 6y = 0
A equação característica é
r^2 + 5r + 6 = 0 Longrightarrow r = -2,,-3
Logo, a solução homogênea é
yh(t) = C1 e^-2t + C2 e^-3t

Passo 3

Para a solução particular, como o termo forçante é 4t e^-t, tentamos
yp(t) = e^-t(A t + B),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos yp' e yp'':
yp = (A t + B)e^-t, yp' = e^-tl(-A t + (A - B)r), yp'' = e^-tl(A t + (B - 2A)r)
Substituindo na equação original:
yp'' +5yp' +6yp = e^-tl[2A t + (3A +2B)r] stackrel!=4t e^-t
Igualando coeficientes de t e de termo constante:
2A = 4 Longrightarrow A=2, 3A+2B=0Longrightarrow B=-3
Assim
yp(t) = e^-t(2t - 3)

Passo 5

A solução geral da não-homogênea é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^-2t + C2 e^-3t + e^-t(2t - 3)

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
y(0) = C1 + C2 + (2cdot0 -3) = C1 + C2 -3 = 0 Longrightarrow C1 + C2 = 3
Em seguida, derivando e avaliando em t=0:
y'(t) = -2C1 e^-2t -3C2 e^-3t + e^-t(-2t +5),
y'(0) = -2C1 -3C2 +5 = 1 Longrightarrow -2C1 -3C2 = -4 Longrightarrow 2C1 +3C2 = 4

Passo 7

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 3, 2C1 +3C2 = 4,
temos C2 = -2 e C1 = 5.

Passo 8

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução do problema de valor inicial:
y(t) = 5e^-2t ;-;2e^-3t;+;e^-t(2t -3)

Resposta

y(t) = 5e^-2t - 2e^-3t + e^-t(2t - 3)

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