Encontre a solução de cada problema de valor inicial a seguir:
Passo 1
O enunciado nos dá um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homógeneo. Precisamos resolver
Para isso, vamos (1) achar a solução geral da homogênea, (2) encontrar uma solução particular, (3) aplicar as condições iniciais.
Passo 2
A parte homogênea é
A equação característica é
Logo, a solução homogênea é
Passo 3
Para a solução particular, como o termo forçante é , tentamos
onde e são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos e :
Substituindo na equação original:
Igualando coeficientes de e de termo constante:
Assim
Passo 5
A solução geral da não-homogênea é
Passo 6
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
Em seguida, derivando e avaliando em :
Passo 7
Resolvendo o sistema
temos C2 = -2 e C1 = 5.
Passo 8
Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução do problema de valor inicial: