Questão 5. Resolva as equações de EULER.
t^2 y^prime prime+t y^prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler
t^2y'' + t,y' + 4y = 0
Para equações de Euler–Cauchy usamos a substituição típica y = t^r, pois isso transforma a equação em um polinômio em r.

Passo 2

Supondo y = t^r, calculamos as derivadas:
y' = r,t^r-1, y'' = r(r-1),t^r-2
Substituindo em t^2y'' + t,y' +4y=0 obtemos:

Passo 3

t^2l[r(r-1)t^r-2r] ;+; tl[r,t^r-1r] ;+;4,t^r ;=; 0
l[r(r-1) + r + 4r],t^r ;=; 0
Como t^rneq 0 para t>0, o coeficiente deve anular:
r(r-1) + r + 4 = 0 ;;Longrightarrow;; r^2 + 4 = 0

Passo 4

A equação característica é
r^2 + 4 = 0 ;;Longrightarrow;; r = pm 2,i
Temos raízes complexas conjugadas alpha pm ibeta com alpha=0 e beta=2.

Passo 5

Para raízes complexas de uma equação de Euler, a solução geral é
y(t) ;=; t^alphal[C1cos(betaln t) + C2sin(betaln t)r]
Aqui alpha=0 e beta=2, logo
y(t) = C1cosl(2ln tr) + C2sinl(2ln tr)

Resposta

y(t) = C1cosl(2ln tr) + C2sinl(2ln tr), t>0

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