Encontre a solução de cada PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a solução de um Problema de Valor Inicial (PVI). O enunciado nos dá uma equação diferencial e duas condições iniciais:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar conhecer métodos para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem e aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes que aparecem na solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de equação que temos. A equação
é uma equação diferencial linear não homogênea. A forma geral de uma equação linear de primeira ordem é:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, usamos um método chamado fator integrante. O objetivo é encontrar uma função
que, quando multiplicada por toda a equação, torna o lado esquerdo da equação a derivada de um produto.
A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Agora, o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Simplificando a exponencial:
Passo 7
Agora aplicamos as condições iniciais para encontrar o valor da constante
.
Primeiro, usamos
:
Passo 8
Assim, a solução da equação diferencial com a condição inicial
é:
No entanto, o enunciado também nos dá
. Vamos verificar se essa condição é satisfeita.
Calculamos a derivada de
:
Aplicando
:
Mas o enunciado pede
, o que não coincide com
. Isso indica que há uma inconsistência no problema original, já que uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial não pode ter duas condições iniciais conflitantes.
Resposta
A solução da equação diferencial
com a condição inicial
é:
No entanto, a condição
não é atendida, indicando uma possível inconsistência no enunciado do problema.