Encontre a solução de cada PVI:
ly^prime-5 y=e^t y(0)=7, y^prime(0)=11

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a solução de um Problema de Valor Inicial (PVI). O enunciado nos dá uma equação diferencial e duas condições iniciais:
y' - 5y = e^t y(0) = 7, y'(0) = 11
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar conhecer métodos para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem e aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes que aparecem na solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de equação que temos. A equação y' - 5y = e^t é uma equação diferencial linear não homogênea. A forma geral de uma equação linear de primeira ordem é:
y' + P(t)y = Q(t)
No nosso caso, P(t) = -5 e Q(t) = e^t .

Passo 3

Para resolver essa equação, usamos um método chamado fator integrante. O objetivo é encontrar uma função mu(t) que, quando multiplicada por toda a equação, torna o lado esquerdo da equação a derivada de um produto.
A fórmula para o fator integrante é:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Substituindo P(t) = -5 :
mu(t) = e^integral -5 , dt = e^-5t

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(t) = e^-5t :
e^-5ty' - 5e^-5ty = e^-5te^t
Simplificando o lado direito:
e^-5te^t = e^-4t

Passo 5

Agora, o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto mu(t)y :
ddt(e^-5ty) = e^-4t
Integrando ambos os lados em relação a t :
integral ddt(e^-5ty) , dt = integral e^-4t , dt
Isso nos dá:
e^-5ty = -14e^-4t + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar y , multiplicamos ambos os lados por e^5t :
y = -14e^5te^-4t + Ce^5t
Simplificando a exponencial:
y = -14e^t + Ce^5t

Passo 7

Agora aplicamos as condições iniciais para encontrar o valor da constante C .
Primeiro, usamos y(0) = 7 :
7 = -14e^0 + Ce^0 7 = -14 + C C = 7 + 14 = 294

Passo 8

Assim, a solução da equação diferencial com a condição inicial y(0) = 7 é:
y = -14e^t + 294e^5t
No entanto, o enunciado também nos dá y'(0) = 11 . Vamos verificar se essa condição é satisfeita.
Calculamos a derivada de y :
y' = -14e^t + 294 cdot 5e^5t = -14e^t + 1454e^5t
Aplicando t = 0 :
y'(0) = -14 cdot 1 + 1454 cdot 1 = -14 + 1454 = 1444 = 36
Mas o enunciado pede y'(0) = 11 , o que não coincide com 36 . Isso indica que há uma inconsistência no problema original, já que uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial não pode ter duas condições iniciais conflitantes.

Resposta

A solução da equação diferencial y' - 5y = e^t com a condição inicial y(0) = 7 é:
y(t) = -14e^t + 294e^5t
No entanto, a condição y'(0) = 11 não é atendida, indicando uma possível inconsistência no enunciado do problema.

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