Lembrando da fórmula de transformada de derivadas, calcule: Lk t cos k t+sin k t (Sugestão: perceba que k t cos k t+sin k t é a derivada de t sin k t )

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de k,tcos(k,t)+sin(k,t). Vamos usar o fato de que essa função é a derivada de tsin(k,t) e aplicar a propriedade
Lf'(t)(s)=s,Lf(t)(s)-f(0)

Passo 2

Defina
f(t)=tsin(k,t)
Calculando a derivada de f em relação a t, temos
f'(t)=ddtl(tsin(k,t)r) =sin(k,t)+tcdot kcos(k,t) =sin(k,t)+k,tcos(k,t),
o que coincide com a função cujo Laplace queremos.

Passo 3

Observe que
f(0)=0cdotsin(0)=0,
logo a propriedade da transformada de derivadas fica
Lf'(t)(s)=s,Lf(t)(s)

Passo 4

Precisamos de Ltsin(k,t)(s). Usamos a fórmula de multiplicação por t: se G(s)=Lsin(k,t)(s), então
Ltsin(k,t)(s)=-ddsG(s)
Sabemos que
G(s)=Lsin(k,t)(s)=ks^2+k^2
Logo
Ltsin(k,t)(s) =-dds!l(ks^2+k^2r) =-kcdotl(-1r)2s(s^2+k^2)^2 =2k,s(s^2+k^2)^2

Passo 5

Finalmente, aplicando Lf'(t)(s)=s,Lf(t)(s), obtemos
Lk,tcos(k,t)+sin(k,t)(s) =scdot2k,s(s^2+k^2)^2 =2k,s^2(s^2+k^2)^2

Resposta

boxedLk,tcos(k,t)+sin(k,t)(s) =2k,s^2(s^2+k^2)^2

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