(Técnicas de construção de gráficos - 2,5 pontos) Dada a função
faça um esboço do gráfico de
.
faça um esboço do gráfico de
Passo 1
O enunciado pede um esboço do gráfico da função
O conteúdo é análise de funções via derivadas para encontrar pontos críticos (máximos, mínimos), ponto de inflexão (pela segunda derivada), interceptos e comportamento nas extremidades. Vamos usar derivadas, suas raízes e o estudo de sinal para montar o esboço.
Passo 2
Encontramos os interceptos com o eixo
resolvendo
Multiplicando por
:
As raízes são
Passo 3
Analisamos o comportamento nas extremidades usando o termo dominante
:
Passo 4
Calculamos a primeira derivada para achar extremos locais:
Resolvendo
:
Passo 5
Classificamos esses pontos usando o sinal de
:
Para ,
(funcão crescente);
entre e
,
(decrescente);
para ,
(crescente).
Logo há um máximo local em e um mínimo local em
.
Seus valores são
Para
entre
para
Logo há um máximo local em
Seus valores são
Passo 6
Determinamos o ponto de inflexão pela segunda derivada:
Temos
em
.
O valor é
O valor é
Então ponto de inflexão em
.
Passo 7
Resumo dos intervalos e concavidade:
- Crescente em
e . - Decrescente em
. - Concavidade para baixo em
. - Concavidade para cima em
.
Com tudo isso, o esbo\u00e7o fica como uma c\u00fabica subindo da esquerda, atinge m\u00e1ximo em
, desce passando por raiz em
antes do m\u00e1ximo e depois em
, muda de concavidade em
, atinge m\u00ednimo em
, cruza novamente em
e sobe para
.
Resposta
O esboço é o de uma cúbica que:
- Intercepta o eixo
em . - Máximo local em
. - Ponto de inflexão em
. - Mínimo local em
. - Cresce até o máximo, decresce até o mínimo e cresce depois, com concavidade trocando no ponto de inflexão.