(Técnicas de construção de gráficos - 2,5 pontos) Dada a função f(x)=13 x^3+12 x^2-x
faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede um esboço do gráfico da função
f(x)=13x^3+12x^2-x
O conteúdo é análise de funções via derivadas para encontrar pontos críticos (máximos, mínimos), ponto de inflexão (pela segunda derivada), interceptos e comportamento nas extremidades. Vamos usar derivadas, suas raízes e o estudo de sinal para montar o esboço.

Passo 2

Encontramos os interceptos com o eixo x resolvendo
f(x)=0 Longrightarrow 13x^3+12x^2-x=0
Multiplicando por 6:
2x^3+3x^2-6x=0 Longrightarrow xl(2x^2+3x-6r)=0
As raízes são
x=0 e 2x^2+3x-6=0 ;Longrightarrow; x=-3pmraiz9+484 =-3pmraiz574 approx -2,64,;1,14

Passo 3

Analisamos o comportamento nas extremidades usando o termo dominante tfrac13x^3:
limxto-inftyf(x)=-infty, limxto+inftyf(x)=+infty

Passo 4

Calculamos a primeira derivada para achar extremos locais:
f'(x)=ddxl(tfrac13x^3+tfrac12x^2-xr) =x^2+x-1
Resolvendo f'(x)=0:
x^2+x-1=0 Longrightarrow x=-1pmraiz1+42 =-1pmraiz52 approx -1,618,;0,618

Passo 5

Classificamos esses pontos usando o sinal de f':
Para x<-1,618, f'>0 (funcão crescente);
entre -1,618 e 0,618, f'<0 (decrescente);
para x>0,618, f'>0 (crescente).
Logo há um máximo local em xapprox -1,618 e um mínimo local em xapprox0,618.
Seus valores são
f(-1,618)approx1,515, f(0,618)approx-0,348

Passo 6

Determinamos o ponto de inflexão pela segunda derivada:
f''(x)=ddx(x^2+x-1) =2x+1
Temos f''(x)=0 em x=-tfrac12.
O valor é
fl(-tfrac12r) =tfrac13l(-tfrac12r)^3 +tfrac12l(-tfrac12r)^2 -(-tfrac12) approx0,583
Então ponto de inflexão em l(-0,5,,0,583r).

Passo 7

Resumo dos intervalos e concavidade:
  • Crescente em (-infty, -1,618) e (0,618, infty).
  • Decrescente em (-1,618, 0,618).
  • Concavidade para baixo em (-infty, -0,5).
  • Concavidade para cima em (-0,5, infty).
Com tudo isso, o esbo\u00e7o fica como uma c\u00fabica subindo da esquerda, atinge m\u00e1ximo em (-1,618, 1,515), desce passando por raiz em -2,64 antes do m\u00e1ximo e depois em x=0, muda de concavidade em (-0,5, 0,583), atinge m\u00ednimo em (0,618, -0,348), cruza novamente em x approx 1,14 e sobe para +infty.

Resposta

O esboço é o de uma cúbica que:
  • Intercepta o eixo x em xapprox -2,64,,0,,1,14.
  • Máximo local em l(-1,618,,1,515r).
  • Ponto de inflexão em l(-0,5,,0,583r).
  • Mínimo local em l(0,618,,-0,348r).
  • Cresce até o máximo, decresce até o mínimo e cresce depois, com concavidade trocando no ponto de inflexão.

Exercícios relacionados