Encontre a solução contínua do problema de valor inicial
cc 2, & 0 <= t <= 1 0, & t>1

Passo 1

Temos o PVI y'+y=g(t) com y(0)=0 e g(t)=2 para 0<= t<=1 e zero depois. É um problema de ODE linear de 1ª ordem e vamos usar fator integrante (ou variação de constantes).

Passo 2

O fator integrante é e^integral1,dt=e^t. Multiplicando:\
ddt(e^t y)=e^t g(t)
Logo a solução geral por variação de constantes é\
y(t)=e^-tintegral0^t e^s g(s),ds + Ce^-t
Pela condição y(0)=0 obtemos C=0.

Passo 3

Para 0<= t<=1 vale g(s)=2. Então\
integral0^t e^s g(s),ds=2integral0^t e^s ds=2(e^t-1)
Logo\
y(t)=e^-tcdot2(e^t-1)=2(1-e^-t),
para 0<= t<=1.

Passo 4

Para t>1 notamos que g(s)=0 em (1,t], então\
integral0^t e^s g(s),ds=integral0^1 2e^s ds=2(e-1)
Daí\
y(t)=e^-tcdot2(e-1)=2(e-1)e^-t,
para t>1.

Passo 5

Cheque em t=1: ambas expressões valem 2(1-e^-1), garantindo continuidade da solução.

Resposta

A solução contínua é
y(t)= 2l(1-e^-tr),&0<= t<=1, 2(e-1)e^-t,&t>1

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