Encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
2 x y+y=-2 x

Passo 1

E aí! O enunciado pede pra achar a solução geral da equação diferencial
2x,y' + y = -2x,
Isso é uma equação linear de 1ª ordem. Para resolver, a gente vai usar o método do fator integrante (aquele lance de transformar o lado esquerdo numa derivada exata).

Passo 2

Primeiro deixa a equação na forma padrão
y' + P(x),y = Q(x),
Divide tudo por 2x (assumindo que xneq0, porque não dá pra dividir por zero):
y' + 12x,y = -1,

Passo 3

Agora calcula o fator integrante
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 12x,dx = e^tfrac12ln|x| = |x|^1/2,
Pra simplificar, a gente toma x>0, então usa
mu(x)=x^1/2,

Passo 4

Multiplica a equação padrão por mu(x)=x^1/2:
x^1/2y' + x^1/2cdot12x,y = -x^1/2,
O truque é que o lado esquerdo vira exatamente a derivada de x^1/2y, ou seja
(x^1/2y)' = -,x^1/2,

Passo 5

Integra dos dois lados em relação a x:
integral (x^1/2y)' ,dx = integral -x^1/2,dx ;Longrightarrow; x^1/2y = -23,x^3/2 + C,,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora isola y dividindo por x^1/2:
y = -tfrac23,x^3/2 + Cx^1/2 = -23,x + C,x^-1/2,

Passo 7

Sobre o intervalo: a divisão por x e a raiz exigem que xneq0. Se você ficou com x>0, a solução vale em (0,infty). Do mesmo jeito rola em (-infty,0), mas aí a gente usaria |x|^1/2=(-x)^1/2 no fator integrante.

Resposta

A solução geral é
y(x) = -23,x + C,x^-1/2,,
definida em (0,infty) (ou, de modo análogo, em (-infty,0)).

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