Encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
Passo 1
E aí! O enunciado pede pra achar a solução geral da equação diferencial
Isso é uma equação linear de 1ª ordem. Para resolver, a gente vai usar o método do fator integrante (aquele lance de transformar o lado esquerdo numa derivada exata).
Passo 2
Primeiro deixa a equação na forma padrão
Divide tudo por
(assumindo que
, porque não dá pra dividir por zero):
Passo 3
Agora calcula o fator integrante
Pra simplificar, a gente toma
, então usa
Passo 4
Multiplica a equação padrão por
:
O truque é que o lado esquerdo vira exatamente a derivada de
, ou seja
Passo 5
Integra dos dois lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora isola
dividindo por
:
Passo 7
Sobre o intervalo: a divisão por
e a raiz exigem que
. Se você ficou com
, a solução vale em
. Do mesmo jeito rola em
, mas aí a gente usaria
no fator integrante.
Resposta
A solução geral é
definida em
(ou, de modo análogo, em
).