Resolva a equação linear

Passo 1

O enunciado dá a equação linear de primeira ordem dydx-1x+1,y=(x+1)^2 para x>-1. O conteúdo é “equação linear de 1ª ordem” e vamos precisar do método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro identificamos P(x)=-tfrac1x+1 e calculamos o fator integrante mu(x)=expl(integral P(x),dxr).
mu(x)=expl(integral -1x+1,dxr)=expl(-ln|x+1|r)=1x+1

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x). Isso transforma o lado esquerdo no derivado do produto mu y:
1x+1dydx-1(x+1)^2y=(x+1)^2x+1 Longrightarrow ddxl(yx+1r)=(x+1)

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(yx+1r)dx = integral (x+1),dx Longrightarrow yx+1=12(x+1)^2 + C, onde C é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente isolamos y:
y(x)=(x+1)l(tfrac12(x+1)^2 + Cr)=tfrac12(x+1)^3 + C(x+1)

Resposta

A solução geral da equação é y(x)=tfrac12(x+1)^3 + C(x+1), em que C é constante arbitrária.

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