Resolva a equação de Ricattii dada.
d yd x=e^2 x+(1+2 e^x) y+y^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Riccati
dydx = e^2x + l(1+2e^xr)y + y^2
O conteúdo é redução de Riccati via substituição que leve a uma equação separável.

Passo 2

Fazemos a substituição
y = v,e^x
Então
dydx = v',e^x + v,e^x
Substituindo em dydx = e^2x + (1+2e^x)y + y^2 temos
v' e^x + v e^x = e^2x + (1+2e^x)(v e^x) + (v e^x)^2

Passo 3

No lado direito,
(1+2e^x)(v e^x) = v e^x + 2v e^2x, (v e^x)^2 = v^2 e^2x,
logo
v'e^x + v e^x = e^2x + v e^x + 2v e^2x + v^2 e^2x
Cancelando v e^x de ambos os lados e factorizando e^2x no restante,
v' e^x = e^2xl(1 + 2v + v^2r) = e^2x(v+1)^2,
ou seja
v' = e^x(v+1)^2

Passo 4

A equação em v é separável:
dv(v+1)^2 = e^x,dx
Integramos ambos os lados:
integral dv(v+1)^2 = integral e^x,dx Longrightarrow -1v+1 = e^x + C

Passo 5

Isolando v,
1v+1 = -,e^x - C = A - e^x,
onde A=-C é constante arbitrária. Assim
v+1 = 1A - e^x, v = 1A - e^x - 1 = e^x + 1 - AA - e^x

Passo 6

Volta à variável y = v,e^x:
y(x) = e^x,e^x + 1 - AA - e^x = e^2x + (1 - A)e^xA - e^x,
onde A é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = e^2x + (1 - C),e^xC - e^x,
em que C é constante arbitrária.

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