Resolva a equação diferencial dada.
y^prime=6+5 y+y^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = 6 + 5y + y^2
Este tipo de equação é separável, pois podemos escrever y' como função só de y. Vamos separar as variáveis e depois integrar.

Passo 2

Escrevendo y'=dydx e fatorando o polinômio em y, temos
dydx = (y+2)(y+3)
Então separamos as variáveis:
dy(y+2)(y+3) = dx

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, fazemos frações parciais:
1(y+2)(y+3) = Ay+2 + By+3
Resolvendo A(y+3)+B(y+2)=1 A=1 e B=-1. Logo
1(y+2)(y+3) = 1y+2 - 1y+3

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral!l(1y+2 - 1y+3r),dy = integral dx
Isso dá
lnl|y+2r| - lnl|y+3r| = x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Reescrevendo o logaritmo:
lnl|y+2y+3r| = x + C Longrightarrow y+2y+3 = K e^x,
com K = e^C constante arbitrária (podemos assumir Kneq0).

Passo 6

Isolando y:
y+2 = K e^x,(y+3) Longrightarrow y + 2 = K e^x,y + 3K e^x Longrightarrow y,(1 - K e^x) = 3K e^x - 2
Longrightarrow y(x) = 3K e^x - 21 - K e^x,
com K constante arbitrária determinada pela condição inicial.

Resposta

y(x) = 3K e^x - 21 - K e^x, KinR

Exercícios relacionados