Encontre a solução da EDO de Bernoulli.
y^prime=4 yx+x raizy

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = 4x,y + xraizy
que é da forma de Bernoulli
y' + P(x),y = Q(x),y^n
com n=tfrac12. A estratégia será escrever em forma padrão, usar a substituição
z = y^1-n = y^1/2,
transformando em uma equação linear em z.

Passo 2

Colocamos a EDO em forma padrão de Bernoulli:
y' - 4x,y = x,y^1/2
Dessa forma identificamos
P(x) = -4x, Q(x) = x, n = tfrac12

Passo 3

Fazemos a substituição
z = y^1/2
Como z = y^1/2, temos
z' = 12,y^-1/2,y' = y'2raizy
Multiplicando a equação original por tfrac12raizy e substituindo y' em termos de z', obtém-se a EDO linear
z' - 2x,z = x2

Passo 4

Para resolver
z' - 2x,z = x2
calculamos o fator integrante
mu(x) = exp!l(integral -tfrac2x,dxr) = e^-2ln|x| = x^-2
Multiplicando a EDO por x^-2 temos
x^-2z' - 2x^-3z = 12x Longrightarrow l(x^-2zr)' = 12x

Passo 5

Integramos ambos os lados:
x^-2z = integral 12x,dx = 12lnlvert xrvert + C,
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z = x^2l(tfrac12lnlvert xrvert + Cr)
Voltando à variável y, lembrando z=raizy, obtemos
raizy = x^2l(tfrac12lnlvert xrvert + Cr)

Passo 6

Elevando ao quadrado, a solução geral é
y(x) = l[x^2l(tfrac12ln|x| + Cr)r]^2 = x^4l(C + tfrac12ln|x|r)^2

Resposta

y(x) = x^4l(C + tfrac12ln|x|r)^2,
com C constante arbitrária.

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