Encontre a solução da EDO linear de 1^ a ordem.
d yd x-7 y=sin (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem juntos! A equação que temos é:
dydx - 7y = sin(x)
Esse tipo de equação é chamado de EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da EDO linear de primeira ordem, que é:
dydx + P(x)y = Q(x)
No nosso caso, podemos reescrever a equação original assim:
dydx - 7y = sin(x)
Aqui, temos P(x) = -7 e Q(x) = sin(x) .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é uma função que vai simplificar a equação. O fator integrante, mu(x) , é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Substituindo P(x) = -7 :
mu(x) = e^integral -7 , dx = e^-7x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x) :
e^-7x cdot dydx - 7e^-7xy = e^-7x sin(x)

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto mu(x)y . Ou seja:
ddx ( e^-7x y ) = e^-7x sin(x)
Isso acontece porque o fator integrante foi escolhido exatamente para que isso acontecesse.

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a x :
integral ddx ( e^-7x y ) , dx = integral e^-7x sin(x) , dx
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente:
e^-7x y = integral e^-7x sin(x) , dx + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver a integral no lado direito. Para isso, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos uma forma padrão. A integral de e^ax sin(bx) é:
integral e^ax sin(bx) , dx = e^axa^2 + b^2 (a sin(bx) - b cos(bx)) + C
No nosso caso, a = -7 e b = 1 , então:
integral e^-7x sin(x) , dx = e^-7x(-7)^2 + 1^2 (-7 sin(x) - cos(x)) + C = e^-7x (-7 sin(x) - cos(x))50 + C

Passo 8

Agora, substituímos a integral de volta na equação:
e^-7x y = e^-7x (-7 sin(x) - cos(x))50 + C
Para isolar y , multiplicamos ambos os lados por e^7x :
y = -7 sin(x) - cos(x)50 + C e^7x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = -7 sin(x) - cos(x)50 + C e^7x
onde C é uma constante arbitrária.

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