Encontre a solução da EDO linear de
ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem juntos! A equação que temos é:
Esse tipo de equação é chamado de EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da EDO linear de primeira ordem, que é:
No nosso caso, podemos reescrever a equação original assim:
Aqui, temos
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é uma função que vai simplificar a equação. O fator integrante,
, é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
. Ou seja:
Isso acontece porque o fator integrante foi escolhido exatamente para que isso acontecesse.
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver a integral no lado direito. Para isso, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos uma forma padrão. A integral de
é:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 8
Agora, substituímos a integral de volta na equação:
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.