Encontre a solução da EDO linear de 1^ a ordem com condição inicial (ou seja, resolva o PVI).
x d yd x+2 y=x^2, y(1)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é linear. O que isso significa? Basicamente, temos uma equação que envolve a função y e sua derivada dydx . Nosso objetivo é encontrar y(x) que satisfaz essa equação e também a condição inicial y(1) = 0 . Para isso, vamos precisar usar a teoria das equações lineares de primeira ordem e, possivelmente, técnicas como fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão das equações lineares de primeira ordem, que é:
dydx + P(x) y = Q(x)
Nossa equação original é:
x dydx + 2 y = x^2
Para chegar ao formato padrão, vamos dividir todos os termos por x (assumindo que x neq 0 ):
dydx + 2x y = x

Passo 3

Agora identificamos as funções P(x) e Q(x) na equação padrão. Aqui:
P(x) = 2x
Q(x) = x
Com essas funções, podemos determinar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação para que possamos integrá-la facilmente.

Passo 4

O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x) :
mu(x) = e^integral 2x dx = e^2 ln|x|
Sabendo que e^ln|x|^k = x^k , temos:
mu(x) = x^2

Passo 5

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante mu(x) :
x^2 dydx + x^2 cdot 2x y = x^2 cdot x
Simplificando:
x^2 dydx + 2x y = x^3
O lado esquerdo agora pode ser escrito como a derivada do produto mu(x) y :
ddx(x^2 y) = x^3

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x :
integral ddx(x^2 y) dx = integral x^3 dx
Isso resulta em:
x^2 y = x^44 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Resolvemos para y dividindo ambos os lados por x^2 :
y = x^44 x^2 + Cx^2
Simplificando:
y = x^24 + Cx^2

Passo 8

Aplicamos a condição inicial y(1) = 0 para encontrar C :
0 = 1^24 + C1^2
0 = 14 + C
C = -14

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = x^24 - 14 x^2

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