Encontre a solução da EDO linear de
ordem com condição inicial (ou seja, resolva o PVI).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é linear. O que isso significa? Basicamente, temos uma equação que envolve a função
e sua derivada
. Nosso objetivo é encontrar
que satisfaz essa equação e também a condição inicial
. Para isso, vamos precisar usar a teoria das equações lineares de primeira ordem e, possivelmente, técnicas como fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la no formato padrão das equações lineares de primeira ordem, que é:
Nossa equação original é:
Para chegar ao formato padrão, vamos dividir todos os termos por
(assumindo que
):
Passo 3
Agora identificamos as funções
e
na equação padrão. Aqui:
Com essas funções, podemos determinar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação para que possamos integrá-la facilmente.
Passo 4
O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Sabendo que
, temos:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante
:
Simplificando:
O lado esquerdo agora pode ser escrito como a derivada do produto
:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: