Encontre a solução da EDO linear de 1^ a ordem com condição inicial (ou seja, resolva o PVI).
y^prime-y=2 t e^t, y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem que é linear, ou seja:
y' - y = 2t e^t, y(0) = 1
Nosso objetivo é encontrar a função y(t) que satisfaz essa equação e a condição inicial. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação no formato padrão:
y' + P(t) y = Q(t)
No nosso caso, podemos reescrever a equação assim:
y' - y = 2t e^t
Então, P(t) = -1 e Q(t) = 2t e^t .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral -1 , dt = e^-t

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(t) :
e^-t y' - e^-t y = 2t e^t cdot e^-t
Simplificando o lado direito:
e^-t y' - e^-t y = 2t

Passo 5

A esquerda da equação agora é a derivada do produto mu(t) y . Então, podemos escrever:
ddt (e^-t y) = 2t

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a t :
integral ddt (e^-t y) , dt = integral 2t , dt
Isso nos dá:
e^-t y = t^2 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Resolvemos para y(t) multiplicando ambos os lados por e^t :
y(t) = e^t (t^2 + C)

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar C :
1 = e^0 (0^2 + C) 1 = 1 cdot C C = 1

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial é:
y(t) = e^t (t^2 + 1)

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