Encontre a solução da EDO de Bernoulli.
t^2 d yd t+y^2=t y, t neq 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo Bernoulli que a gente tem aqui:
t^2 d yd t + y^2 = t y, t neq 0
A matéria que vamos usar é a de equações de Bernoulli, que são um tipo especial de EDO não linear. Para resolver, a gente vai precisar transformar essa equação em uma forma que a gente consiga lidar, usando métodos específicos para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para deixá-la no padrão da equação de Bernoulli. A forma geral da equação de Bernoulli é:
d yd t + P(t) y = Q(t) y^n
Vamos dividir toda a equação original por t^2 para isolar d yd t :
d yd t + y^2t^2 = yt
Agora, a gente pode identificar P(t) = 1t e Q(t) = 1t^2 , e o expoente n = 2 .

Passo 3

A equação de Bernoulli pode ser transformada em uma equação linear através de uma substituição. Vamos definir uma nova variável v tal que:
v = y^1 - n = y^1 - 2 = y^-1
Agora, derivamos v em relação a t :
d vd t = -y^-2 d yd t

Passo 4

Vamos substituir d yd t da equação original na expressão de d vd t :
Da equação rearranjada:
d yd t = yt - y^2t^2
Substituindo na derivada de v :
d vd t = -y^-2 ( yt - y^2t^2 ) = -1t y^-1 + 1t^2
Mas como v = y^-1 , então y^-1 = v . Substituindo:
d vd t = -vt + 1t^2

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em v :
d vd t + vt = 1t^2
Para resolver uma equação linear como essa, usamos o fator integrante. O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 1t dt = e^ln t = t

Passo 6

Multiplicamos toda a equação por mu(t) = t :
t d vd t + t cdot vt = t cdot 1t^2
Simplificando:
t d vd t + v = 1t
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de v cdot mu(t) :
dd t (v cdot t) = 1t

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a t :
integral dd t (v cdot t) dt = integral 1t dt
Isso resulta em:
v cdot t = ln t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Agora, resolvemos para v :
v = ln t + Ct
Lembrando que v = y^-1 , então:
y^-1 = ln t + Ct
Inverter para achar y :
y = tln t + C

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(t) = tln t + C

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