Encontre a solução da EDO de Bernoulli.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo Bernoulli que a gente tem aqui:
A matéria que vamos usar é a de equações de Bernoulli, que são um tipo especial de EDO não linear. Para resolver, a gente vai precisar transformar essa equação em uma forma que a gente consiga lidar, usando métodos específicos para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para deixá-la no padrão da equação de Bernoulli. A forma geral da equação de Bernoulli é:
Vamos dividir toda a equação original por
para isolar
:
Agora, a gente pode identificar
e
, e o expoente
.
Passo 3
A equação de Bernoulli pode ser transformada em uma equação linear através de uma substituição. Vamos definir uma nova variável
tal que:
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir
da equação original na expressão de
:
Da equação rearranjada:
Substituindo na derivada de
:
Mas como
, então
. Substituindo:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em
:
Para resolver uma equação linear como essa, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação por
:
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Lembrando que
, então:
Inverter para achar
:
Resposta
A solução geral da EDO é: