Encontre a solução da EDO de Bernoulli.
y^prime-3x y=x^4 y^1 / 3, y(1)=-8

Passo 1

O enunciado dá a equação de Bernoulli
y' - 3x,y = x^4,y^1/3,
com condição inicial y(1)=-8.
Vamos usar a transformação típica de Bernoulli: se a equação é
y' + P(x),y = Q(x),y^n,
então definimos u = y^1-n. Aqui n=tfrac13, logo 1-n=tfrac23 e tomamos
u = y^2/3

Passo 2

Para achar a equação em u, primeiro escrevemos a equação dividida por y^1/3:
y^-1/3y' - 3x,y^2/3 ;=; x^4
Como
u = y^2/3 Longrightarrow u' = 23,y^-1/3,y',
temos y^-1/3y' = tfrac32u'. Substituindo na equação:
32u' - 3x,u = x^4
Multiplicando por tfrac23:
u' - 2x,u = 23,x^4

Passo 3

É agora uma EDO linear em u. O fator integrante é
mu(x) = expl(integral -tfrac2x,dxr) = x^-2
Multiplicando a equação por x^-2:
(u,x^-2)' = 23,x^4cdot x^-2 = 23,x^2
Integrando,
u,x^-2 = integral 23,x^2,dx = 29,x^3 + C,
logo
u(x) = y^2/3 = 29,x^5 + C,x^2

Passo 4

Voltando a y,
y = l(u(x)r)^3/2 = l(29x^5 + C,x^2r)^3/2
Como a condição inicial dá y(1)=-8, vemos que y é negativo em x=1, então devemos escolher o ramo negativo:
y(x) = -l(29x^5 + C,x^2r)^3/2

Passo 5

Aplicando y(1)=-8:
- l(tfrac29cdot1^5 + Ccdot1^2r)^3/2 = -8 Longrightarrow l(tfrac29 + Cr)^3/2 = 8
Logo tfrac29+C = 8^2/3 = 4, de onde
C = 4 - tfrac29 = 36-29 = 349

Resposta

y(x) = -l(29,x^5 + 349,x^2r)^3/2

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