Use multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores extremos da função sujeita à restrição dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar os valores máximos e mínimos da função $ f(x, y) = x^{2} y $ com a restrição $ x^{4} + y^{4} = 5 $. Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, uma técnica da matemática que ajuda a otimizar funções com restrições. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os multiplicadores de Lagrange. A ideia é que, para encontrar os extremos (máximos ou mínimos) de uma função $ f(x, y) $ sujeita a uma restrição $ g(x, y) = 0 $, a gente configura um sistema onde os gradientes dessas funções são proporcionais. Ou seja:
Aqui, $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange que a gente precisa encontrar.
Passo 3
Vamos calcular os gradientes de $ f $ e $ g $.
Para $ f(x, y) = x^{2} y $:
Para a restrição $ g(x, y) = x^{4} + y^{4} - 5 = 0 $:
Passo 4
Igualando os gradientes multiplicados pelo $ \lambda $:
Nosso objetivo agora é encontrar $ x $, $ y $ e $ \lambda $ que satisfaçam essas equações.
Passo 5
Vamos resolver a equação (1) para $ \lambda $:
Agora, substituímos esse valor de $ \lambda $ na equação (2):
Simplificando:
Passo 6
Agora, usamos a restrição original $ x^{4} + y^{4} = 5 $. Substituindo $ x^{4} = 2y^{4} $:
Então:
Passo 7
Com $ y^{4} = \frac{5}{3} $, encontramos $ x^{4} $:
Logo:
Passo 8
Agora, temos os pontos candidatos para extremos:
Vamos calcular o valor da função $ f $ nesses pontos:
Sabendo que $ x^{4} = \frac{10}{3} $, temos $ x^{2} = \left( \frac{10}{3} \right)^{1/2} $. E $ y^{4} = \frac{5}{3} $, então $ y = \left( \frac{5}{3} \right)^{1/4} $.
Substituindo:
O mesmo vale para o valor negativo quando $ y $ for negativo.
Resposta
Os valores extremos de $ f(x, y) = x^{2} y $ sujeitos à restrição $ x^{4} + y^{4} = 5 $ são $ \frac{5\sqrt{2}}{3} $ e $ -\frac{5\sqrt{2}}{3} $.