Use multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores extremos da função sujeita à restrição dada.
f(x, y)=x^2 y ; x^4+y^4=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar os valores máximos e mínimos da função $ f(x, y) = x^{2} y $ com a restrição $ x^{4} + y^{4} = 5 $. Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, uma técnica da matemática que ajuda a otimizar funções com restrições. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os multiplicadores de Lagrange. A ideia é que, para encontrar os extremos (máximos ou mínimos) de uma função $ f(x, y) $ sujeita a uma restrição $ g(x, y) = 0 $, a gente configura um sistema onde os gradientes dessas funções são proporcionais. Ou seja:
f(x, y)
Aqui, $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange que a gente precisa encontrar.

Passo 3

Vamos calcular os gradientes de $ f $ e $ g $.
Para $ f(x, y) = x^{2} y $:
f
Para a restrição $ g(x, y) = x^{4} + y^{4} - 5 = 0 $:
g

Passo 4

Igualando os gradientes multiplicados pelo $ \lambda $:
lambda
2xy = lambda cdot 4x^3 (1)
Nosso objetivo agora é encontrar $ x $, $ y $ e $ \lambda $ que satisfaçam essas equações.

Passo 5

Vamos resolver a equação (1) para $ \lambda $:
lambda
Agora, substituímos esse valor de $ \lambda $ na equação (2):
lambda = 2xy4x^3 = y2x^2
Simplificando:
lambda

Passo 6

Agora, usamos a restrição original $ x^{4} + y^{4} = 5 $. Substituindo $ x^{4} = 2y^{4} $:
x^4 + y^4 = 5
Então:
x^4 = 2y^4

Passo 7

Com $ y^{4} = \frac{5}{3} $, encontramos $ x^{4} $:
y^4 = 53
Logo:
x^4

Passo 8

Agora, temos os pontos candidatos para extremos:
( pm ( 103 )^1/4, pm ( 53 )^1/4 )
Vamos calcular o valor da função $ f $ nesses pontos:
f
Sabendo que $ x^{4} = \frac{10}{3} $, temos $ x^{2} = \left( \frac{10}{3} \right)^{1/2} $. E $ y^{4} = \frac{5}{3} $, então $ y = \left( \frac{5}{3} \right)^{1/4} $.
Substituindo:
f(x, y) = x^2 y
O mesmo vale para o valor negativo quando $ y $ for negativo.

Resposta

Os valores extremos de $ f(x, y) = x^{2} y $ sujeitos à restrição $ x^{4} + y^{4} = 5 $ são $ \frac{5\sqrt{2}}{3} $ e $ -\frac{5\sqrt{2}}{3} $.

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