Use multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores extremos da função sujeita à restrição dada.
f(x, y)=2 x^2+6 y^2 ; x^4+3 y^4=1

Passo 1

O enunciado pede que usemos multiplicadores de Lagrange para achar os extremos de
f(x,y)=2x^2+6y^2
sujeito à restrição
x^4+3y^4=1.
É um problema de otimização em que igualamos nabla f a um múltiplo escalar de nabla g, com g(x,y)=x^4+3y^4-1.

Passo 2

Definimos a Lagrangeana
L(x,y,lambda)=2x^2+6y^2-lambda,(x^4+3y^4-1)
As condições de otimalidade são
partial Lpartial x=4x-4lambda x^3=0, partial Lpartial y=12y-12lambda y^3=0,
e a própria restrição
x^4+3y^4=1

Passo 3

Das equações
4x(1-lambda x^2)=0, 12y(1-lambda y^2)=0
seguintes casos podem ocorrer:
Caso i) x=0 e yneq0.
Da restrição 3y^4=1implies y=pm(1/3)^1/4.
Como yneq0, de 12y(1-lambda y^2)=0 obtemos lambda=1/y^2=raiz3.
Caso ii) y=0 e xneq0.
Da restrição x^4=1implies x=pm1.
Como xneq0, de 4x(1-lambda x^2)=0 obtemos lambda=1/x^2=1.
Caso iii) xneq0 e yneq0.
Então lambda=1/x^2=1/y^2implies|x|=|y|.
Na restrição x^4+3x^4=4x^4=1implies x=pmtfrac1raiz2, y=pmtfrac1raiz2 e lambda=2.

Passo 4

Calculamos f em cada ponto crítico:
f(pm1,0)=2, fl(0,pm(1/3)^1/4r)=6,(1/3)^1/2=2raiz3, fl(pmtfrac1raiz2,pmtfrac1raiz2r)=4
Portanto o menor valor de f no conjunto restrito é 2 e o maior é 4.

Resposta

Mínimo global: ;fmin=2 em (1,0) e (-1,0).
Máximo global: ;fmax=4 em
l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r),
l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r),
l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) e
l(-tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r).

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