Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=f(t) ; \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0 ; \quad f(t)= \begin{cases}1, & 0 \leq t<10 \\\\ 0, & t \geq 10 .\end{cases}

Passo 1

O problema é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçante em degrau
y''+3y'+2y=f(t),\quad f(t)=\begin{cases}1,&0\le t<10,\\\ 0,&t\ge10,\end{cases}
com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0. Para resolver, vamos separar em dois intervalos: em 0\le t<10 temos forçante constante 1, e em t\ge10 a forçante é zero.

Passo 2

Em 0\le t<10 a equação é
y''+3y'+2y=1.
A solução geral é y(t)=y_h+y_p, onde
y_h=C_1e^{-t}+C_2e^{-2t},
e uma particular constante y_p=A satisfaz 2A=1, ou seja A=\tfrac12. Logo
y(t)=\tfrac12+C_1e^{-t}+C_2e^{-2t}.
Impondo y(0)=0 e y'(0)=0 temos
C_1+C_2=-\tfrac12
-C_1-2C_2=0
que levam a C_1=-1 e C_2=\tfrac12. Portanto, para 0\le t<10,
y_1(t)=\frac12 -e^{-t}+\frac12e^{-2t}.

Passo 3

Calculamos o valor de y_1 e sua derivada em t=10 para usar como condições iniciais no segundo intervalo:
y_1(10)=\frac12 -e^{-10}+\frac12e^{-20}, \quad y_1'(t)=e^{-t}-e^{-2t}
\Rightarrow y_1'(10)=e^{-10}-e^{-20}.

Passo 4

Para t\ge10 a equação torna-se homogênea
y''+3y'+2y=0,
com solução
y_2(t)=A e^{-t}+B e^{-2t}.
As condições em t=10 são
A e^{-10}+B e^{-20}=y_1(10), \quad -\,A e^{-10}-2B e^{-20}=y_1'(10).
Resolvendo o sistema obtém-se
A=e^{10}-1, \quad B=\frac{1-e^{20}}{2}.
Logo, para t\ge10,
y_2(t)=(e^{10}-1)e^{-t}+\frac{1-e^{20}}{2}\,e^{-2t}.

Passo 5

Reunindo as duas partes, a solução é a função peça-por-peça

Resposta

y(t)= \begin{cases} \displaystyle \frac12 -e^{-t}+\frac12e^{-2t}, & 0\le t<10,\\[1em] \displaystyle (e^{10}-1)e^{-t}+\frac{1-e^{20}}{2}\,e^{-2t}, & t\ge10. \end{cases}]

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