Encontre a solução da edo y^prime-1-x^2+2 x y-y^2=0, se y1(x)=x é uma solução particular e estude o comportamento da solução quando lim x 0 y(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Riccati
y' - 1 - x^2 + 2xy - y^2 = 0,
e informa que y1(x)=x é uma solução particular. Para resolver, vamos usar a técnica padrão: fazer a substituição
y(x) = y1(x) + 1u(x) = x + 1u(x),
que transforma a Riccati numa equação linear em u.

Passo 2

Calculemos y'. Como
y = x + 1u,
temos
y' = 1 + ddxl(1ur) = 1 - u'u^2
Substituindo y e y' na equação original, obtemos
l(1 - tfracu'u^2r) -1 - x^2 +2xl(x+tfrac1ur) -l(x+tfrac1ur)^2 = 0

Passo 3

Simplificando termo a termo:
1) 1-1=0.
2) 2xl(x+tfrac1ur)=2x^2+tfrac2xu.
3) l(x+tfrac1ur)^2=x^2+tfrac2xu+tfrac1u^2
Logo a equação fica
-,u'u^2 - x^2 + 2x^2 + 2xu - x^2 - 2xu - 1u^2 = 0
Os termos em x^2 e em x/u cancelam, sobrando
-,u'u^2 ;-;1u^2 ;=; 0

Passo 4

Multiplicando por -u^2, obtemos
u' + 1 = 0 Longrightarrow dudx = -1
Integrando,
u(x) = -x + C,
onde C é constante arbitrária de integração.

Passo 5

Voltando à substituição y = x + tfrac1u, temos
y(x) = x + 1-x + C = x + 1C - x
Essa é a solução geral da Riccati, parametrizada por C.

Passo 6

Para estudar o comportamento de y(x) quando xto0, calculemos
limxto0 y(x) = limxto0l(x + 1C - xr) = 0 + 1C = 1C,
desde que Cneq0.
Se C=0, a solução torna-se
y = x + 1-x = x - 1x ,
que diverge quando xto0.

Resposta

A solução geral é
y(x) = x + 1C - x,
e
limxto0y(x) = 1C(finito se Cneq0); diver>= se C=0

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