Encontre a solução da edo
, se
é uma solução particular e estude o comportamento da solução quando
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Riccati
e informa que
é uma solução particular. Para resolver, vamos usar a técnica padrão: fazer a substituição
que transforma a Riccati numa equação linear em
.
Passo 2
Calculemos
. Como
temos
Substituindo
e
na equação original, obtemos
Passo 3
Simplificando termo a termo:
)
.
)
.
)
Logo a equação fica
Logo a equação fica
Os termos em
e em
cancelam, sobrando
Passo 4
Multiplicando por
, obtemos
Integrando,
onde
é constante arbitrária de integração.
Passo 5
Voltando à substituição
, temos
Essa é a solução geral da Riccati, parametrizada por
.
Passo 6
Para estudar o comportamento de
quando
, calculemos
desde que
.
Se , a solução torna-se
Se
que diverge quando
.
Resposta
A solução geral é
e