- Uma hipocicloide é uma curva traçada por um ponto fixo
num círculo
de raio
conforme
desliza no interior do círculo com centro
e raio
. Mostre que se a posição inicial
é
e o parâmetro
é escolhido como na figura, entảo as equações paramétricas da hipocicloide são
Passo 1
O enunciado pede as equações paramétricas da hipocicloide gerada por um ponto
num círculo de raio
que rola sem deslizamento dentro de um círculo fixo de raio
. O parâmetro
indica o ângulo que o centro do círculo menor faz, visto de
. Para resolver, vamos usar geometria de rotações e a condição de sem deslizamento (igualdade de arcos).
Passo 2
Primeiro, determinamos a posição do centro
do círculo de raio
. Como esse centro percorre um círculo de raio
em torno de
com ângulo
, suas coordenadas são
Passo 3
Pela condição de sem deslizamento, o arco percorrido pelo círculo menor é igual ao arco percorrido internamente pelo grande, isto é
Aqui
é o ângulo que o círculo menor gira em torno de seu próprio centro. Como ele gira no sentido horário quando
cresce, o vetor de
relativo a
terá rotação de
.
Passo 4
A posição de
em relação ao centro
é um vetor de módulo
girado de
a partir da direção positiva de
. Logo
com
.
Passo 5
Somando a contribuição do centro
e do vetor relativo
, obtemos as coordenadas de
: