1. Uma hipocicloide é uma curva traçada por um ponto fixo num círculo de raio conforme desliza no interior do círculo com centro e raio . Mostre que se a posição inicial é e o parâmetro é escolhido como na figura, entảo as equações paramétricas da hipocicloide são

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da hipocicloide gerada por um ponto P num círculo de raio b que rola sem deslizamento dentro de um círculo fixo de raio a. O parâmetro theta indica o ângulo que o centro do círculo menor faz, visto de O. Para resolver, vamos usar geometria de rotações e a condição de sem deslizamento (igualdade de arcos).

Passo 2

Primeiro, determinamos a posição do centro C do círculo de raio b. Como esse centro percorre um círculo de raio a-b em torno de O com ângulo theta, suas coordenadas são
(xC,yC)=l((a-b)costheta,;(a-b)senthetar)

Passo 3

Pela condição de sem deslizamento, o arco percorrido pelo círculo menor é igual ao arco percorrido internamente pelo grande, isto é
b,varphi=(a-b),theta Longrightarrow varphi=a-bb,theta
Aqui varphi é o ângulo que o círculo menor gira em torno de seu próprio centro. Como ele gira no sentido horário quando theta cresce, o vetor de P relativo a C terá rotação de -varphi.

Passo 4

A posição de P em relação ao centro C é um vetor de módulo b girado de -varphi a partir da direção positiva de x. Logo
(xP',yP')=l(bcosvarphi,;-bsenvarphir),
com varphi=(a-b)theta/b.

Passo 5

Somando a contribuição do centro C e do vetor relativo (xP',yP'), obtemos as coordenadas de P:
x = xC + xP' = (a-b)costheta + bcos!l(tfraca-bbthetar), y = yC + yP' = (a-b)sentheta - bsen!l(tfraca-bbthetar)

Resposta

x=(a-b)costheta + bcos!l(tfraca-bb,thetar), y=(a-b)sentheta - bsen!l(tfraca-bb,thetar)

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