Use a substituição u=tan (x2) para calcular as seguintes integrais. Lembre
sen(x)=2 tan (x2)1+tan ^2(x2) e cos (x)=1-tan ^2(x2)1+tan ^2(x2)
integral sec ^2(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sec^2(x),dx
usando a substituição de Weierstrass u=tanl(tfracx2r). Vamos precisar das fórmulas
sin(x)=2u1+u^2, cos(x)=1-u^21+u^2
e da derivada dx em função de du.

Passo 2

Calculamos dx a partir de u=tanl(tfracx2r). Sabemos que
du=12sec^2l(x2r),dx
e como sec^2l(tfracx2r)=1+tan^2l(tfracx2r)=1+u^2, temos
du=12(1+u^2),dx Longrightarrow dx=21+u^2,du

Passo 3

Expressamos sec^2(x) em termos de u. Como
cos(x)=1-u^21+u^2,
segue
sec^2(x)=1cos^2(x) =(1+u^2)^2(1-u^2)^2
Logo o integrando fica
sec^2(x),dx =(1+u^2)^2(1-u^2)^2cdot21+u^2,du =2(1+u^2)(1-u^2)^2,du

Passo 4

Reconhecemos que a derivada de
2u1-u^2
é exatamente
d!gl(2u1-u^2gr) =2(1+u^2)(1-u^2)^2,du
Portanto
integral 2(1+u^2)(1-u^2)^2,du =2u1-u^2+C

Passo 5

Voltando à variável x, usamos
u=tanl(x2r) Longrightarrow 2u1-u^2 =tan(x)
Assim
integral sec^2(x),dx =tan(x)+C

Resposta

integral sec^2(x),dx=tan(x)+C.

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