Resolva o problema de valor inicial dado. DĂȘ o maior intervalo I sobre o qual a solução estĂĄ definida.
28. d Td t=k(T-Tm), T(0)=T0 ; k, Tm e T0 constantes

Passo 1

O enunciado é um problema de valor inicial para uma equação diferencial ordinária de primeira ordem do tipo linear (ou separável):
dTdt=kl(T-Tmr), T(0)=T0,
onde k, Tm e T0 são constantes. Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis (ou reconhecimento imediato da forma padrão).

Passo 2

Separamos as variáveis T e t assim:
dTT-Tm = k,dt

Passo 3

Integramos os dois lados:
integral dTT-Tm = integral k,dt Longrightarrow lnl|T-Tmr| = k,t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Exponenciando, obtemos
l|T-Tmr| = e^C,e^k,t = C',e^k,t,
com C'=e^C>0. Como o sinal pode vir da condição inicial, escrevemos
T-Tm=C' e^k,t
Em t=0, T(0)=T0 implica
T0-Tm=C',e^0=C',
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T(t)=Tm + l(T0-Tmr),e^k,t

Passo 5

A função exponencial está definida para todo tinR, então o maior intervalo de existência (o domínio maximal) da solução é
I = l(-infty,inftyr)

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
T(t)=Tm + l(T0-Tmr),e^k,t,
e o maior intervalo em que ela está definida é
I = (-infty,infty)

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