Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
d yd x=x^3-2 yx

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo dydx = x^3 - 2yx. Aqui, a gente vai mexer com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente de primeira ordem e lineares. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e usar um método chamado “fator integrante”.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão das EDOs lineares, que é dydx + P(x)y = Q(x).
Dada a nossa equação:
dydx = x^3 - 2yx
Vamos dividir tudo por x para isolar dydx:
dydx + 2xy = x^2
Aqui, P(x) = 2x e Q(x) = x^2.

Passo 3

Agora, precisamos achar o fator integrante ( mu(x)), que nos ajuda a simplificar a equação. A fórmula para o fator integrante é:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular:
mu(x) = e^integral 2x dx = e^2 ln x = x^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
x^2 cdot dydx + x^2 cdot 2xy = x^2 cdot x^2
Simplificando:
x^2dydx + 2x y = x^4

Passo 5

A equação agora fica mais simples de resolver, pois o lado esquerdo é a derivada do produto y cdot mu(x):
ddx(x^2y) = x^4
Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx(x^2y) dx = integral x^4 dx
O que resulta em:
x^2y = x^55 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos y para encontrar a solução geral:
y = x^55 + Cx^2 = x^55x^2 + Cx^2 = x^35 + Cx^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 15x^3 + Cx^2
Onde C é uma constante arbitrária.

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