Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
d yd x=e^2 x+3 y

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
dydx = e^2x + 3y
Este é um caso de equação diferencial linear na forma padrão
dydx - 3y = e^2x,
e vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Para aplicar o método, identificamos o coeficiente de y na forma padrão como -3. Calculamos o fator integrante mu(x) por
mu(x) = e^integral -3,dx = e^-3x

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x), obtendo
e^-3xdydx - 3e^-3xy = e^-3xe^2x = e^-x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de l(e^-3xyr), ou seja,
ddxl(e^-3xyr) = e^-x

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a x, temos
integral ddxl(e^-3xyr),dx = integral e^-x,dx Longrightarrow e^-3xy = -,e^-x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y multiplicando por e^3x:
y(x) = l(-e^-x + Cr),e^3x = -e^2x + C,e^3x

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = C,e^3x - e^2x,
onde C é uma constante arbitrária.

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