Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
(x+y) d x-(x-y) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é (x + y) dx - (x - y) dy = 0. O conteúdo principal aqui envolve resolver uma EDO, o que significa encontrar uma função que satisfaz essa equação. Para resolver, vamos precisar usar métodos de resolução de EDOs, como verificar se a equação é exata ou encontrar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar as partes M e N. Uma EDO pode ser escrita como M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0. No nosso caso:
M(x,y) = x + y
N(x,y) = -(x - y)

Passo 3

Agora, vamos conferir se essa equação é exata. Uma equação é exata se partial Mpartial y = partial Npartial x . Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, derivando M em relação a y:
partial Mpartial y = partialpartial y(x + y) = 1
Depois, derivando N em relação a x:
partial Npartial x = partialpartial x(-(x - y)) = -1
Como 1 neq -1, a equação não é exata.

Passo 4

Já que a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Geralmente, tentamos fatores que são funções de x ou de y. Vamos tentar um fator que depende apenas de x.
Chamemos o fator integrante de mu(x). Multiplicamos toda a equação por mu(x):
mu(x)(x + y) dx - mu(x)(x - y) dy = 0
Para que a nova equação seja exata, deve valer:
ddy [mu(x)(x + y)] = ddx [-mu(x)(x - y)]

Passo 5

Vamos calcular as derivadas:
Primeira derivada:
ddy [mu(x)(x + y)] = mu(x)
Segunda derivada:
ddx [-mu(x)(x - y)] = -mu'(x)(x - y) - mu(x)
Igualando as duas:
mu(x) = -mu'(x)(x - y) - mu(x)
Isso parece complicado, então provavelmente precisamos tentar um fator integrante que depende apenas de y.

Passo 6

Vamos tentar um fator integrante mu(y). Multiplicando a equação original por mu(y):
mu(y)(x + y) dx - mu(y)(x - y) dy = 0
Para que a equação seja exata:
ddy [mu(y)(x + y)] = ddx [-mu(y)(x - y)]

Passo 7

Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
ddy [mu(y)(x + y)] = mu'(y)(x + y) + mu(y)
Segunda derivada:
ddx [-mu(y)(x - y)] = -mu(y)
Igualando as duas:
mu'(y)(x + y) + mu(y) = -mu(y)
Simplificando:
mu'(y)(x + y) = -2mu(y)
Isso ainda depende de x e y, então parece que nem fator integrante só de x ou só de y funciona. Vamos tentar um fator integrante que depende de x + y.

Passo 8

Vamos definir u = x + y, então tentamos mu(u). Reescrevendo a EDO em termos de u:
u , dx - (x - y) dy = 0
Expressando y em termos de u e x: y = u - x. Substituindo:
u , dx - (x - (u - x)) dy = u , dx - (2x - u) dy = 0
Mas esse caminho está complicado, então vamos optar por outra estratégia: usar uma substituição para simplificar a equação.

Passo 9

Vamos usar a substituição v = yx. Assim, y = v x. Derivando ambos os lados em relação a x:
dy = v , dx + x , dv
Substituindo na EDO original:
(x + v x) dx - (x - v x)(v , dx + x , dv) = 0
Simplificando:
x(1 + v) dx - x(1 - v)(v , dx + x , dv) = 0
Distribuindo:
x(1 + v) dx - x(1 - v)v , dx - x^2 (1 - v) dv = 0
Agrupando os termos com dx e dv:
[x(1 + v) - x(1 - v)v] dx - x^2 (1 - v) dv = 0
Simplificando o coeficiente de dx:
x(1 + v - v + v^2) = x(1 + v^2)
Então:
x(1 + v^2) dx - x^2 (1 - v) dv = 0
Dividindo toda a equação por x^2:
1 + v^2x dx - (1 - v) dv = 0

Passo 10

Agora, temos uma equação que podemos separar as variáveis:
1 + v^2x dx = (1 - v) dv
Integrando ambos os lados:
integral 1 + v^2x dx = integral (1 - v) dv
A integral do lado esquerdo é:
(1 + v^2) ln |x|
E do lado direito:
v - v^22 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da EDO é:
(1 + v^2) ln |x| = v - v^22 + C
Substituindo v = yx:
(1 + (yx)^2) ln |x| = yx - 12(yx)^2 + C

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