Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é
. O conteúdo principal aqui envolve resolver uma EDO, o que significa encontrar uma função que satisfaz essa equação. Para resolver, vamos precisar usar métodos de resolução de EDOs, como verificar se a equação é exata ou encontrar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar as partes M e N. Uma EDO pode ser escrita como
. No nosso caso:
Passo 3
Agora, vamos conferir se essa equação é exata. Uma equação é exata se
. Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, derivando M em relação a y:
Depois, derivando N em relação a x:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Já que a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Geralmente, tentamos fatores que são funções de x ou de y. Vamos tentar um fator que depende apenas de x.
Chamemos o fator integrante de
. Multiplicamos toda a equação por
:
Para que a nova equação seja exata, deve valer:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Igualando as duas:
Isso parece complicado, então provavelmente precisamos tentar um fator integrante que depende apenas de y.
Passo 6
Vamos tentar um fator integrante
. Multiplicando a equação original por
:
Para que a equação seja exata:
Passo 7
Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Igualando as duas:
Simplificando:
Isso ainda depende de x e y, então parece que nem fator integrante só de x ou só de y funciona. Vamos tentar um fator integrante que depende de
.
Passo 8
Vamos definir
, então tentamos
. Reescrevendo a EDO em termos de u:
Expressando y em termos de u e x:
. Substituindo:
Mas esse caminho está complicado, então vamos optar por outra estratégia: usar uma substituição para simplificar a equação.
Passo 9
Vamos usar a substituição
. Assim,
. Derivando ambos os lados em relação a x:
Substituindo na EDO original:
Simplificando:
Distribuindo:
Agrupando os termos com
e
:
Simplificando o coeficiente de
:
Então:
Dividindo toda a equação por
:
Passo 10
Agora, temos uma equação que podemos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é:
E do lado direito:
Onde C é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da EDO é:
Substituindo
: