Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
(2 y+3 x) d x=-x d y

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
(2y+3x),dx = -x,dy
que podemos reescrever dividindo por dx e isolando dy/dx. Ficamos com
dydx = -2y+3xx = -2,yx - 3
Isso mostra que a equação é linear de primeira ordem no formato
dydx + P(x),y = Q(x)

Passo 2

Identificamos os coeficientes da forma padrão:
P(x) = 2x, Q(x) = -3
Para resolver uma EDO linear de primeira ordem, usamos o fator integrante
mu(x)=e^integral P(x),dx.

Passo 3

Calculamos o fator integrante:
mu(x) = expl(integral 2x,dxr) = expl(2ln|x|r) = x^2
(assumindo xneq0).

Passo 4

Multiplicamos a equação original escrita em forma de derivada por mu(x)=x^2. Assim,
x^2dydx + x^2cdot2x,y = x^2cdot(-3) Longrightarrow x^2dydx + 2x,y = -3x^2
O lado esquerdo é exatamente
ddxl(x^2 yr),
logo a equação fica
ddxl(x^2 yr) = -3x^2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^2y = integral -3x^2,dx = -x^3 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y, obtemos a solução geral:
y = -x^3 + Cx^2 = -,x + Cx^2

Resposta

boxedy = -,x + Cx^2,
onde C é constante arbitrária.

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