Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
y^prime=e^x+y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y' = e^x+y
Este tipo de equação é do tipo “variáveis separáveis”, ou seja, conseguimos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro.

Passo 2

Escrevemos
dydx = e^x+y = e^x,e^y
e separamos as variáveis dividindo por e^y e multiplicando por dx:
e^-y,dy = e^x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral e^-y,dy = integral e^x,dx
No lado esquerdo integral e^-ydy = -e^-y, e do lado direito integral e^x dx = e^x. Logo,
-,e^-y = e^x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolamos e^-y:
e^-y = -,e^x + C = C - e^x

Passo 5

Para encontrar y, aplicamos logaritmo:
-,y = lnl(C - e^xr) Longrightarrow y = -lnl(C - e^xr)

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = -lnl(C - e^xr),
onde C é uma constante arbitrária.

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