Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
d yd x=-2 x y+y^2+1x^2+2 x y

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
dydx = -2xy + y^2 + 1x^2 + 2xy
e pede a solução geral (não há condição inicial). Vamos reconhecer que essa equação pode ser escrita na forma de diferencial exata

Passo 2

Reescrevemos a EDO como
(2xy + y^2 + 1),dx + (x^2 + 2xy),dy = 0
Aqui identificamos
M(x,y) = 2xy + y^2 + 1, N(x,y) = x^2 + 2xy

Passo 3

Para testar exatidão, calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 2x + 2y, partial Npartial x = 2x + 2y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Existe uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M(x,y)
Integramos M em relação a x:
Psi(x,y) = integral (2xy + y^2 + 1),dx = x^2y + xy^2 + x + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Agora impomos
partial Psipartial y = N(x,y)
Calculando
partial Psipartial y = x^2 + 2xy + h'(y)
e igualando a N(x,y)=x^2+2xy obtemos h'(y)=0. Logo h(y) é constante.

Resposta

A solução implícita geral é
x^2y + xy^2 + x = C,
onde C é a constante de integração.

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