Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
x y^prime+y-y^2 e^2 x=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
x,y' + y - y^2 e^2x = 0,
que é uma EDO de primeira ordem não linear. O conteúdo que vamos usar é o método de Bernoulli, pois a equação pode ser escrita na forma
y' + P(x),y = Q(x),y^n
com n=2.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo por x:
y' + 1x,y = e^2xx,y^2
Aqui P(x)=tfrac1x, Q(x)=tfrace^2xx e n=2.

Passo 3

No método de Bernoulli fazemos a substituição
u = y^1-n = y^-1
Calculamos u' em função de y':
u' = -,y'y^2

Passo 4

Reescrevendo a equação em u:
a equação original dá
y' = -,y^2,u',
logo, substituindo em
y' + 1x,y = e^2xx,y^2
e dividindo por y^2, obtemos
-,u' + ux = e^2xx
Multiplicando por -1 resulta a EDO linear
u' - 1x,u = -,e^2xx

Passo 5

Encontramos o fator integrante
mu(x) = exp!l(integral -tfrac1x,dxr) = x^-1
Multiplicando a equação por x^-1 vendo que o lado esquerdo se torna derivada de u/x:
ddxl(uxr) = -,e^2xx^2

Passo 6

Integramos ambos os lados:
ux = -integral e^2xx^2,dx + C
Para computar integral e^2xx^-2dx usamos integração por partes:
integral e^2xx^2,dx = -e^2xx + 2integral e^2xx,dx = -e^2xx + 2,Ei(2x),
onde Ei(2x) é a função integral exponencial. Então
ux = -l(-e^2xx + 2,Ei(2x)r) + C = e^2xx - 2,Ei(2x) + C

Passo 7

Multiplicando por x e voltando a y=1/u, obtemos
u = e^2x - 2x,Ei(2x) + C,x, y = 1u = 1,e^2x - 2x,Ei(2x) + C,x,

Resposta

A solução geral é
boxed y(x) = 1,e^2x - 2,x,Ei(2x) + C,x,,
onde C é constante arbitrária e Ei(2x) é a integral exponencial.

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