Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
2 sen(y) cos (x) d x+cos (y) sen(x) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
2sin(y)cos(x),dx+cos(y)sin(x),dy=0
que é uma 1-forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0. O objetivo é encontrar a solução geral. Como nem sempre essa forma é exata, vamos verificar a exatidão e, se necessário, usar um fator integrante que dependa só de x.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando
M(x,y)=2sin(y)cos(x), N(x,y)=cos(y)sin(x),
partial Mpartial y =2cos(y)cos(x), partial Npartial x =cos(y)cos(x)
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação não é exata. Procuramos um fator integrante mu(x), dependendo só de x. A condição é que
partial Mpartial y-partial Npartial xN
seja função apenas de x. De fato,
2cos(y)cos(x)-cos(y)cos(x)cos(y)sin(x) =cos(y)cos(x)cos(y)sin(x) =cot(x),
que depende só de x.

Passo 3

O fator integrante é
mu(x)=expl(integral cot(x),dxr) =expl(ln|sin(x)|r) =sin(x)
Multiplicando a equação original por sin(x), obtemos a forma
M^*(x,y),dx+N^*(x,y),dy=0
com
M^*=2sin(y)cos(x)sin(x), N^*=cos(y)sin^2(x)

Passo 4

Agora a forma é exata. Buscamos uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=M^*=2sin(y)cos(x)sin(x)
Integramos em x, tratando y como constante:
Phi(x,y) =sin(y)integral 2cos(x)sin(x),dx + g(y) =sin(y)sin^2(x)+g(y)

Passo 5

Para determinar g(y), usamos
partial Phipartial y =cos(y)sin^2(x)+g'(y) stackrel!=N^*=cos(y)sin^2(x)
Logo g'(y)=0 e g(y) é constante.

Passo 6

A solução implícita vem de
Phi(x,y)=sin(y)sin^2(x)=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

boxedsin^2(x),sin(y)=C,
que é a solução geral da EDO.

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