Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
x d yd x+2 y=sen(x)x, y(2)=1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo x dydx + 2y = sen(x)x com uma condição inicial y(2) = 1. Nosso objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica bem útil para resolver EDOs lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão de uma EDO linear, que é dydx + P(x)y = Q(x). Para isso, dividimos todos os termos por x:
dydx + 2x y = sen(x)x^2
Aqui, identificamos P(x) = 2x e Q(x) = sen(x)x^2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(x), que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 2x,dx = e^2 ln x = x^2
O fator integrante nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma forma que facilita a integração.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela mu(x) = x^2:
x^2 dydx + 2x y = sen(x)
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto x^2 y. Isso acontece porque:
ddx(x^2 y) = x^2 dydx + 2x y
Portanto, podemos reescrever a equação como:
ddx(x^2 y) = sen(x)

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx(x^2 y),dx = integral sen(x),dx
Isso nos dá:
x^2 y = -cos(x) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Vamos usar a condição inicial y(2) = 1 para encontrar o valor de C:
2^2 cdot 1 = -cos(2) + C implies 4 = -cos(2) + C
Então:
C = 4 + cos(2)

Resposta

A solução da EDO é:
y(x) = -cos(x) + 4 + cos(2)x^2

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