Dê um exemplo para provar que integral f(x) d x neq f(x) integral d x.

Passo 1

O enunciado pede um contraexemplo para mostrar que não vale a “fatoração”
integral f(x),dx ;=; f(x),integral dx
Vamos usar propriedades básicas de integrais indefinidas para refutar essa igualdade.

Passo 2

Escolhemos f(x)=x. Primeiro calculamos a integral direta:
integral f(x),dx ;=;integral x,dx ;=;x^22+C1

Passo 3

Agora avaliamos o que seria f(x)integral dx:
integral dx = x + C2 Longrightarrow f(x)integral dx = xcdot(x+C2)=x^2 + C3,
onde C3 é outra constante arbitrária.

Passo 4

Comparando os resultados temos
integral x,dx = x^22+C1 e xintegral dx = x^2 + C3
Como tfracx^22+C1 não coincide com x^2+C3 em geral, concluímos que
integral f(x),dx neq f(x),integral dx

Resposta

Um contraexemplo é f(x)=x:
integral x,dx = x^22+C, xintegral dx = x^2 + C,
logo x^22+Cneq x^2+C.

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