Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
d yd x=-2 x y+1x^2+2 y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
dydx = -2xy + 1x^2 + 2y
O conteúdo que vamos usar é a técnica de EDO exata: escrevemos o ODE na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
e verificamos se partial M/partial y = partial N/partial x.

Passo 2

Reescrevendo o ODE em diferencial,
dydx = -2xy + 1x^2 + 2y Longrightarrow (2xy + 1),dx + (x^2 + 2y),dy = 0
Aqui identificamos
M(x,y) = 2xy + 1, N(x,y) = x^2 + 2y

Passo 3

Verificamos a exatidão:
partial Mpartial y = 2x, partial Npartial x = 2x
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M(x,y)
e
partial Psipartial y = N(x,y)
Integramos M em relação a x:
Psi(x,y) = integral (2xy + 1),dx = x^2y + x + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Impondo
partial Psipartial y = x^2 + h'(y) stackrel!= N(x,y) = x^2 + 2y
vemos que h'(y)=2y, logo
h(y) = y^2 + constante
Podemos incorporar essa constante em C da solução geral.

Passo 6

Assim, a função potencial completa é
Psi(x,y) = x^2y + x + y^2
A condição de contorno implícita para a solução geral é
Psi(x,y) = C,
ou seja,
x^2 y + x + y^2 = C

Resposta

A solução geral implícita da EDO é
x^2 y + x + y^2 = C,
onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados