Identifique e esboce as cônicas a seguir:
x^24-(y-2)^29=1;

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
x^24-(y-2)^29=1
e pede para identificá-la e esboçá-la. Este é um caso de classificação de cônicas em forma canônica, onde teremos uma hipérbole do tipo tfracx^2a^2-tfrac(y-k)^2b^2=1.

Passo 2

Comparando
x^24-(y-2)^29=1
com
(x-h)^2a^2-(y-k)^2b^2=1
vemos que
h=0, k=2, a^2=4implies a=2, b^2=9implies b=3
Logo, o centro da hipérbole é
C=(h,k)=(0,2),
e a abertuta é horizontal, pois o termo positivo é o de x^2.

Passo 3

Os vértices ficam deslocados do centro ao longo do eixo transverso (horizontal) em pm a:
V1=(0+2,,2)=(2,2), V2=(0-2,,2)=(-2,2)
Os focos surgem em
c^2=a^2+b^2=4+9=13 Longrightarrow c=raiz13,
portanto
F1=(raiz13,2), F2=(-raiz13,2)

Passo 4

As assíntotas da hipérbole em forma canônica horizontal são
y-k=pmba,(x-h),
isto é
y-2=pm32,x Longrightarrow y=2pm32,x

Passo 5

Para esboçar a hipérbole:
  1. Marque o centro C=(0,2).
  2. Desenhe os vértices em (2,2) e (-2,2).
  3. Trace as retas assíntotas y=2pm32x.
  4. Construa os ramos abrindo para a direita e para a esquerda, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

A curva é uma hipérbole centrada em (0,2), com eixo transverso horizontal de semi-eixo a=2 e semi-eixo conjugado b=3.
Vértices em (pm2,2), focos em (pmraiz13,2) e assíntotas
y=2pm32,x

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