Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
(3 y^2+2 x y) d x-(2 x y+x^2) d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO
(3y^2 + 2xy),dx ;-;(2xy + x^2),dy ;=;0
Aqui temos uma equação em forma diferencial com
M(x,y)=3y^2+2xy, N(x,y)=-,(2xy+x^2),
ambos homogêneos de grau 2. Vamos usar a substituição y=ux para explorarmos a homogeneidade.

Passo 2

Primeiro passamos para a forma explícita
(3y^2+2xy);-;(2xy+x^2),dydx=0 Longrightarrow dydx=3y^2+2xy2xy+x^2

Passo 3

Defina u=tfracyx, logo y=ux e
dydx=u + xdudx
Substituindo na equação,
u + xdudx =3u^2x^2+2ux^22ux^2+x^2 =u(3u+2)2u+1
Isolando tfracdudx,
xdudx =u(3u+2)2u+1-u =u(u+1)2u+1

Passo 4

Separamos variáveis:
integral 2u+1u(u+1),du =integral dxx
Fazendo frações parciais em tfrac2u+1u(u+1)=tfrac1u+tfrac1u+1, obtemos
integrall(1u+1u+1r),du =ln|u|+ln|u+1| =lnl|u(u+1)r| =ln|x|+C

Passo 5

Voltando a u=y/x, temos
u(u+1)=C,x Longrightarrow yxl(yx+1r)=C,x Longrightarrow y(y+x)=C,x^3

Resposta

A solução geral é
y(y+x)=C,x^3,
onde C é constante arbitrária.

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