Dê um exemplo para provar que integral f(x) g(x) d x neq integral f(x) d x integral g(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede um contraexemplo para mostrar que a suposta “distributividade”
integral f(x),g(x),dx ;=;integral f(x),dx;integral g(x),dx
não vale em geral. Vamos escolher funções simples e comparar os dois lados.

Passo 2

Escolhemos
f(x)=1, g(x)=x
Assim f(x),g(x)=x.

Passo 3

Calculamos o integral do produto:
integral f(x),g(x),dx =integral x,dx =x^22+C1

Passo 4

Calculamos separadamente cada integral e depois o produto:
integral f(x),dx =integral 1,dx =x+C2,
integral g(x),dx =integral x,dx =x^22+C3,
portanto
integral f(x),dx;integral g(x),dx =(x+C2)l(x^22+C3r) =x^32+C3x+C2x^22+C2C3

Passo 5

O primeiro resultado é um polinômio de grau 2 e o segundo é de grau 3 (mais constantes). Como funções de x não coincidem, concluímos
integral f(x),g(x),dx ;neq;integral f(x),dx;integral g(x),dx

Resposta

Um exemplo é f(x)=1 e g(x)=x:
integral 1cdot x,dx=tfracx^22+C1, integral 1,dxintegral x,dx=(x+C2)l(tfracx^22+C3r),
que são diferentes.

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