Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
d yd x=2 y+raizx^2-y^22 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
dydx=2,y+raizx^2-y^22,x
O conteúdo envolve uma expressão do tipo raizx^2-y^2, o que sugere usar a substituição trigonométrica
y = xsin u(x),
pois então raizx^2-y^2=xcos u. Vamos aplicar essa ideia.

Passo 2

Com y = xsin u, temos
dydx = ddxl(xsin ur) = sin u + xcos u,dudx

Passo 3

No lado direito da EDO substituímos y e raizx^2-y^2:
2y+raizx^2-y^22x = 2(xsin u)+xcos u2x = x(2sin u+cos u)2x = 2sin u+cos u2
Logo a EDO vira
sin u + xcos u,dudx = 2sin u+cos u2
Isolando o termo com du/dx:
xcos u,dudx = 2sin u+cos u2-sin u = cos u2

Passo 4

Assumindo cos uneq0, dividimos por cos u e obtemos
x,dudx = 12,
que é separável. Integramos:
integral du = integral 12x,dx Longrightarrow u(x) = 12lnl|xr| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original,
y = xsin!l(tfrac12lnlvert xrvert + Cr)
Além disso, ao dividir por cos u descartamos a possibilidade cos u=0, que corresponderia a u=tfracpi2+kpi e dá as soluções singulares
y = pm x

Resposta

A solução geral é
boxedy(x)=xsinl(tfrac12lnlvert xrvert + Cr),
além das soluções singulares
boxedy(x)=x e boxedy(x)=-x

Exercícios relacionados