Identifique e esboce as cônicas a seguir:
x^2+y^2-2 x+6 y+1=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a curva dada por
x^2+y^2-2x+6y+1=0
Aqui o conteúdo é reconhecimento de cônicas via método de completar o quadrado, que nos permite transformar a equação geral numa forma conhecida (como a de círculo, elipse etc.).

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y para completar os quadrados:
(x^2-2x)+(y^2+6y)+1=0
Agora, para cada parcela quadrática, adicionamos e subtraímos o termo que forma um quadrado perfeito:

Passo 3

Calculamos os quadrados perfeitos:
x^2-2x = (x-1)^2-1, y^2+6y = (y+3)^2-9
Substituindo em
(x-1)^2-1 + (y+3)^2-9 +1 = 0
temos
(x-1)^2 + (y+3)^2 -9 = 0
e, portanto, em forma padrão:
(x-1)^2 + (y+3)^2 = 9

Passo 4

Da forma
(x-1)^2 + (y+3)^2 = 9
vemos que se trata de uma circunferência com centro em C=(1,-3) e raio
r = raiz9 = 3

Passo 5

Para esboçar: desenhe os eixos coordenados, marque o ponto C=(1,-3) e os quatro pontos extremos que ficam a distância 3 de C, a saber
(1+3,-3)=(4,-3), (1-3,-3)=(-2,-3), (1,, -3+3)=(1,0), (1,, -3-3)=(1,-6).
Em seguida trace suavemente a circunferência passando por esses pontos.

Resposta

A curva é uma circunferência de centro (1,-3) e raio 3.

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