Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
(x+y) d x+(x+2 y) d y=0, y(2)=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por (x + y) dx + (x + 2 y) dy = 0 e uma condição inicial y(2) = 3. Nosso objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação. Para isso, vamos precisar entender sobre equações exatas e como resolver esse tipo de EDO passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação na forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 é exata se partial Mpartial y = partial Npartial x. Aqui, M = x + y e N = x + 2y.
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 1
partial Npartial x = 1
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata. Isso significa que existe uma função F(x, y) tal que:
dF = M dx + N dy

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função F(x, y). Integramos M em relação a x:
F(x, y) = integral M dx = integral (x + y) dx = 12x^2 + yx + g(y)
Aqui, g(y) é uma função de y que surge da integração.
Para encontrar g(y), derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N:
partial Fpartial y = x + g'(y) = N = x + 2y
Simplificando:
g'(y) = 2y Rightarrow g(y) = y^2 + C
Portanto, a função potencial é:
F(x, y) = 12x^2 + x y + y^2 + C

Passo 4

Como a equação é exata, temos que F(x, y) = constante. Vamos usar a condição inicial y(2) = 3 para determinar essa constante.
Substituindo x = 2 e y = 3 em F(x, y):
12(2)^2 + (2)(3) + (3)^2 = 12(4) + 6 + 9 = 2 + 6 + 9 = 17
Então, a constante é 17.

Resposta

A solução da EDO é:
12x^2 + x y + y^2 = 17

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