Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
(e^x+1) d yd x=y-y e^x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
(e^x+1),dydx=y - y,e^x
Percebemos que é um caso de equação de variáveis separáveis: podemos escrever todos os termos com y de um lado e com x do outro.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por (e^x+1) e por y (supondo yneq0), obtendo
1y,dydx = 1 - e^x,e^x+1,
Agora as variáveis estão separadas.

Passo 3

Integramos cada lado em relação a x:
integral 1y,dy = integral 1 - e^x1 + e^x,dx

Passo 4

No lado esquerdo vem ln|y|. No direito, notamos que
1 - e^x1 + e^x = 1 - 2e^x1 + e^x,
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integral 1 - e^x1 + e^x,dx = integral 1,dx -2 integral e^x1 + e^x,dx = x - 2,lnl(1 + e^xr) + C

Passo 5

Temos então
ln|y| = x - 2,lnl(1 + e^xr) + C
Aplicando exponencial e definindo A=e^C, resulta
y = A,e^xl(1 + e^xr)^2,
que é a solução geral.

Resposta

y = C,e^x(1 + e^x)^2,
onde C é a constante de integração.

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