Identifique e esboce as cônicas a seguir:
x^2-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para “identificar e esboçar” a curva dada por
x^2 - 2y = 0
O conteúdo é seções cônicas, mais especificamente como reconhecer e desenhar uma parábola a partir da sua equação geral. Vamos classificar o tipo de cônica, passar para a forma canônica, achar vértice e direção de abertura e, enfim, esboçar o gráfico.

Passo 2

Para classificar a cônica, lembramos a forma geral
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
Aqui temos A=1, B=0, C=0. O discriminante das cônicas é
De<a = B^2 - 4AC = 0^2 - 4cdot1cdot0 = 0
Como De<a=0, a curva é uma parábola.

Passo 3

Isolando y na equação dada:
x^2 - 2y = 0 Longrightarrow 2y = x^2 Longrightarrow y = 12,x^2
Esta é a forma canônica de uma parábola com vértice na origem (0,0) e eixo de simetria paralelo ao eixo y.

Passo 4

Podemos extrair mais propriedades úteis para o esboço:
y = 12x^2 Long<=ftrightarrow y = 14px^2,
logo 14p = tfrac12 implica p = tfrac12.
  • Vértice: (0,0).
  • Foco: l(0,pr) = l(0,tfrac12r).
  • Diretriz: y = -p = -tfrac12.
  • Eixo de simetria: reta x=0.

Passo 5

Para esboçar a parábola:
  1. Desenhe os eixos cartesianamente e marque o vértice (0,0).
  2. Marque também o foco l(0,tfrac12r) e a diretriz y=-tfrac12.
  3. Trace alguns pontos de referência:
    l(1,tfrac12r),,l(-1,tfrac12r),,l(2,2r),,l(-2,2r).
  4. Una esses pontos formando um “U” simétrico em torno de x=0, voltado para cima.

Resposta

A curva é uma parábola de equação canônica
y = 12,x^2,
com vértice em (0,0), foco em l(0,tfrac12r), diretriz y=-tfrac12 e eixo de simetria x=0.
Esboço: um “U” voltado para cima, passando por (pm1,tfrac12) e (pm2,2).

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