Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
d yd x=y^31-2 x y^2, y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
dydx=y^31-2xy^2
com condição inicial y(0)=1. O truque aqui é inverter a derivada e tratar x como função de y, isto é, escrever dxdy e obter uma EDO linear em x(y).

Passo 2

Invertemos a derivada:
dxdy=1-2xy^2y^3
e reescrevemos como uma EDO linear em x:
dxdy+2y,x=1y^3

Passo 3

Identificamos P(y)=2/y e Q(y)=1/y^3. O fator integrante é
mu(y)=exp!l(!integral2y,dyr)=exp(2ln|y|)=y^2
Multiplicando a EDO por mu(y) fica
y^2dxdy+2y,x=1y,
que é
ddyl(y^2xr)=1y

Passo 4

Integramos em y:
y^2x=integral1y,dy=ln|y|+C
Usando a condição y(0)=1, temos 0cdot1^2=ln1+Cimplies C=0.

Passo 5

Logo a solução implícita, com C=0, é
x,y^2=ln y
Essa equação define y em função de x.

Resposta

x,y^2=ln y, y(0)=1

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