Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
(x^2 y+x y-y) d x+(x^2 y-2 x^2) d y=0

Passo 1

Temos a EDO
l(x^2y + xy - yr),dx + l(x^2y - 2x^2r),dy = 0
O conteúdo é separação de variáveis após escrever dy/dx. Vamos verificar se dá para escrever dy/dx como produto de função só de x por função só de y.

Passo 2

Dividindo a equação por dx e isolando dy/dx, obtemos
dydx = -x^2y + xy - yx^2y - 2x^2 = -y(x^2+x-1)x^2(y-2)
Reescrevendo,
dydx = -x^2+x-1x^2;yy-2,
mostrando que o lado direito é produto de uma função só de x por uma só de y.

Passo 3

Separamos as variáveis, isto é, agrupamos termos em y à esquerda e termos em x à direita:
y-2y,dy = -x^2+x-1x^2,dx
Note que y-2y = 1 - 2y e x^2+x-1x^2 = 1 + 1x - 1x^2.

Passo 4

Integramos o lado em y:
integrall(1 - tfrac2yr),dy = integral 1,dy - 2integral 1y,dy = y - 2lnl|yr| + C1

Passo 5

Integramos o lado em x (com sinal negativo):
-integrall(1 + tfrac1x - tfrac1x^2r),dx = -l(,x + lnl|xr| + tfrac1xr) + C2 = -x - lnl|xr| - tfrac1x + C2

Passo 6

Igualamos as duas primitivas (absorvendo C1 e C2 em uma constante C):
y - 2lnl|yr| = -x - lnl|xr| - tfrac1x + C
Reorganizando, uma forma implícita conveniente é
x + y + lnl|xr| ;-;2lnl|yr| ;+;tfrac1x = C

Resposta

A solução geral (implícita) é
x + y + lnl|xr| - 2lnl|yr| + 1x = C,
onde C é constante arbitrária.

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