Identifique e esboce as cônicas a seguir:
3(x-1)^24-5(y+1)^29=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
3(x-1)^24 ;-;5(y+1)^29 ;=;1
que é uma cônica de segundo grau com sinais opostos nos quadrados. Isso indica uma hipérbole. Nosso objetivo é reescrevê-la na forma padrão
(x-h)^2a^2 ;-;(y-k)^2b^2 ;=;1,
identificar h,k,a,b, encontrar vértices e assíntotas, e então esboçar o gráfico.

Passo 2

Dividimos por 1 e agrupamos para comparar com a forma padrão:
3(x-1)^24 ;-;5(y+1)^29 =1 Longrightarrow (x-1)^2tfrac43 ;-;(y+1)^2tfrac95 =1
Logo
a^2=tfrac43, b^2=tfrac95, e o centro é (h,k)=(1,-1) é

Passo 3

Como o termo positivo é tfrac(x-1)^2a^2, a hipérbole abre para a esquerda e para a direita, seguindo o eixo horizontal que passa por y=-1.

Passo 4

Os vértices estão afastados do centro em a ao longo do eixo-transversal:
a=raiztfrac43=tfrac2raiz3,
então os vértices são
l(1pmtfrac2raiz3,;-1r)

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole na forma (x-1)^2a^2-(y+1)^2b^2=1 são
y+1=pmba,(x-1)
Aqui
ba =raiztfrac95raiztfrac43 =3/raiz52/raiz3 =3raiz32raiz5
Logo as assíntotas são
y+1=pm3raiz32raiz5,(x-1)

Passo 6

Para esboçar a hipérbole:
  1. Marque o centro (1,-1).
  2. Desenhe o “retângulo auxiliar” de semi-eixos a=tfrac2raiz3 na horizontal e b=tfrac3raiz5 na vertical em torno do centro.
  3. Trace as diagonais desse retângulo: são as linhas das assíntotas.
  4. Desenhe os dois ramos da hipérbole abrindo-se para esquerda e direita, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

É uma hipérbole centrada em (1,-1) que abre horizontalmente, com
a^2=tfrac43, b^2=tfrac95,
vértices em
l(1pmtfrac2raiz3,,-1r)
e assíntotas
y+1=pm3raiz32raiz5,(x-1)

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