Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
d yd x=x^2+y^2x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) que é:
dydx = x^2 + y^2x^2
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais ordinárias e técnicas para resolvê-las. Para resolver essa EDO, vamos precisar usar uma substituição inteligente que simplifique a equação e nos permita separar as variáveis. Vamos seguir passo a passo para entender tudo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dada. Observe que:
dydx = x^2 + y^2x^2 = 1 + ( yx )^2
Aqui, a gente reescreveu a fração dividindo cada termo do numerador por x^2. Isso deixa a equação mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para tornar a equação mais simples. Vamos deixar:
u = yx
Isso significa que y = u cdot x. A ideia é transformar a equação em termos de u e x, facilitando a resolução.

Passo 4

Vamos derivar y em relação a x usando a regra do produto:
dydx = u + x cdot dudx
Substituímos isso na nossa equação original:
u + x cdot dudx = 1 + u^2

Passo 5

Agora, vamos isolar dudx:
x cdot dudx = 1 + u^2 - u
dudx = 1 + u^2 - ux
Essa forma nos permite separar as variáveis u e x.

Passo 6

Vamos separar as variáveis para poder integrar:
du1 + u^2 - u = dxx
Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação.

Passo 7

Primeiro, vamos tratar o lado esquerdo da equação. A gente tem:
integral duu^2 - u + 1
Para facilitar a integração, completamos o quadrado no denominador:
u^2 - u + 1 = ( u - 12 )^2 + 34
Então, a integral fica:
integral du( u - 12 )^2 + ( raiz32 )^2 = integral dxx

Passo 8

A integral no lado esquerdo é uma forma padrão que resulta em uma função arco-tangente ( arctan). Integrando ambos os lados:
2raiz3 arctan ( 2( u - 12 )raiz3 ) = ln|x| + C
Aqui, C é a constante de integração.

Passo 9

Agora, substituímos u = yx de volta na equação:
2raiz3 arctan ( 2( yx - 12 )raiz3 ) = ln|x| + C
Simplificando um pouco mais:
arctan ( 2y - xx raiz3 ) = raiz32 ln|x| + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
arctan ( 2y - xx raiz3 ) = raiz32 ln|x| + C
Onde C é a constante de integração.

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