Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) que é:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais ordinárias e técnicas para resolvê-las. Para resolver essa EDO, vamos precisar usar uma substituição inteligente que simplifique a equação e nos permita separar as variáveis. Vamos seguir passo a passo para entender tudo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dada. Observe que:
Aqui, a gente reescreveu a fração dividindo cada termo do numerador por
. Isso deixa a equação mais fácil de trabalhar.
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para tornar a equação mais simples. Vamos deixar:
Isso significa que
. A ideia é transformar a equação em termos de
e
, facilitando a resolução.
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
usando a regra do produto:
Substituímos isso na nossa equação original:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Essa forma nos permite separar as variáveis
e
.
Passo 6
Vamos separar as variáveis para poder integrar:
Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação.
Passo 7
Primeiro, vamos tratar o lado esquerdo da equação. A gente tem:
Para facilitar a integração, completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Passo 8
A integral no lado esquerdo é uma forma padrão que resulta em uma função arco-tangente (
). Integrando ambos os lados:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, substituímos
de volta na equação:
Simplificando um pouco mais:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.