Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
d yd x=-3 x^2 y+y^22 x^3+3 x y, y(1)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
dydx=-3x^2y+y^22x^3+3xy,
com condição inicial y(1)=-2.
O conteúdo que vamos usar é transformar a EDO em forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy=0,
verificar se é exata, e—se não for—buscar um fator integrante adequado para torná-la exata.

Passo 2

Reescrevemos a EDO em forma diferencial separando numerador e denominador:
(3x^2y + y^2),dx + (2x^3 + 3xy),dy = 0
Aqui M(x,y)=3x^2y + y^2 e N(x,y)=2x^3+3xy.

Passo 3

Checamos se é exata calculando
partial Mpartial y=3x^2+2y, partial Npartial x=6x^2+3y
Como 3x^2+2yneq6x^2+3y, a equação não é exata.

Passo 4

Procuramos um fator integrante da forma mu(x,y)=x^ay^b. A condição de exatidão impõe
partialpartial yl(mu Mr) = partialpartial xl(mu Nr)
Isso leva ao sistema para a,b:
2a-3b=-3, b-3a=1,
cuja solução é a=0, b=1.
Logo mu(y)=y.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por y, obtendo
(3x^2y^2+y^3),dx + (2x^3y+3xy^2),dy =0,
que é exata, pois agora
partialpartial y(3x^2y^2+y^3) =6x^2y+3y^2 =partialpartial x(2x^3y+3xy^2)
Então existe Phi(x,y) tal que
partialPhipartial x=3x^2y^2+y^3, partialPhipartial y=2x^3y+3xy^2
Integrando partialPhi/partial x em x:
Phi(x,y)=x^3y^2+xy^3+h(y)
Derivando em y e igualando a 2x^3y+3xy^2 mostra h'(y)=0.
Assim a solução implícita é
x^3y^2+x,y^3=C

Passo 6

Aplicamos y(1)=-2 para achar C:
1^3cdot(-2)^2+1cdot(-2)^3 =4-8=-4,
logo C=-4.

Resposta

boxedx^3y^2+x,y^3=-4

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