Identifique e esboce as quádricas a seguir
4 x^2+4 y^2+z^2=4;

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície quádricas dada por
4x^2+4y^2+z^2=4
O conteúdo é classificação de superfícies quádricas — aqui vamos ver se é elipsóide, hiperbolóide, etc. — e usar cortes e interceptos para guiar o esboço.

Passo 2

Para pôr em forma canônica, dividimos ambos os lados por 4:
4x^24+4y^24+z^24=1 Longrightarrow x^2+y^2+z^24=1

Passo 3

Comparando com
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1,
vemos que a=1, b=1 e c=2. Logo é um elipsóide central de semieixos ,1,,1,,2.

Passo 4

Para esboçar, é útil anotar os interceptos com os eixos coordenados:
,(x,y,z)=(pm1,0,0), (0,pm1,0) e (0,0,pm2).
Além disso, cortes transversais:
— Para z=z0 fixo, a seção é o círculo
x^2+y^2=1-z0^24,
cujo raio varia de 1 (em z0=0) a 0 (em z0=pm2).
— Para x=x0 fixo, a seção é a elipse
y^21+z^24=1-x0^2,
e similar trocando x e y.

Resposta

A superfície é um elipsóide central com semieixos
a=1, b=1, c=2,
centrado na origem. No esboço, marcam-se os pontos (pm1,0,0), (0,pm1,0) e (0,0,pm2) e ligam-se suavemente, formando uma “bola esticada” no eixo z.

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