Encontre a solução da EDO (se tiver condição inicial use para encontrar eventuais valores de constantes).
fracd yd x=-3 x^2 y+y^22 x^3+3 x y, y(1)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
dydx=-3x^2y+y^22x^3+3xy
com condição inicial y(1)=-2.
O conteúdo é EDO de primeira ordem e veremos que podemos escrever a equação na forma diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 e usar fator integrante.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por dx e rearranjando, obtemos
(3x^2y+y^2),dx + (2x^3+3xy),dy = 0
Aqui definimos
M(x,y)=3x^2y+y^2, N(x,y)=2x^3+3xy

Passo 3

Testamos exatidão calculando
partial Mpartial y=3x^2+2y, partial Npartial x=6x^2+3y
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, não é exata.
Buscamos um fator integrante mu(y). Calculamos
partial Npartial x-partial Mpartial yM =(6x^2+3y)-(3x^2+2y)3x^2y+y^2 =3x^2+yy(3x^2+y) =1y,
logo mu(y)=exp!l(integral tfrac1y,dyr)=y.

Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(y)=y, obtendo
(3x^2y^2+y^3),dx + (2x^3y+3xy^2),dy=0
Agora
tilde M=3x^2y^2+y^3, tilde N=2x^3y+3xy^2,
e verifica-se
partial tilde Mpartial y=6x^2y+3y^2 =partial tilde Npartial x,
portanto é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=tilde M, partial Phipartial y=tilde N
Integrando tilde M em x:
Phi(x,y)=integral(3x^2y^2+y^3),dx =y^2x^3+y^3x+h(y)
Derivando em y e igualando a tilde N:
partial Phipartial y =2yx^3+3y^2x+h'(y) overset!=2x^3y+3xy^2,
daí h'(y)=0 e h constante. A solução implícita geral é
y^2x^3+y^3x=C Long<=ftrightarrow x,y^2(x^2+y)=C

Passo 6

Aplicando a condição inicial x=1, y=-2:
1cdot(-2)^2l(1^2+(-2)r)=4cdot(-1)=-4,
logo C=-4. Assim a solução particular é
x,y^2l(x^2+yr)=-4

Resposta

x,y^2l(x^2+yr)=-4

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