Encontre a solução para as seguintes EDOs lineares de segunda ordem.
y^prime prime-3 y^prime-4 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0.

Passo 1

Beleza! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: $ y’’ - 3 y’ - 4 y = 0 $, com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. Vamos resolver essa EDO usando métodos de equações lineares. Para isso, precisamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para descobrir as constantes envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação diferencial, que é $ y’’ - 3 y’ - 4 y = 0 $. Para isso, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo $ y = e^{rt} $ na equação diferencial, temos:
y = e^rt
Podemos dividir todos os termos por $ e^{rt} $ (que nunca é zero), ficando com a equação característica:
r^2 e^rt - 3 r e^rt - 4 e^rt = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática $ r^2 - 3r - 4 = 0 $. Usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 - 3r - 4 = 0
Então, temos duas raízes:
r = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm raiz252 = 3 pm 52

Passo 5

Com as raízes $ r_1 = 4 $ e $ r_2 = -1 $, a solução geral da equação homogênea é:
r1 = 4
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, aplicamos a primeira condição inicial $ y(0) = 1 $:
y(0) = 1
Isso nos dá a equação:
1 = C1 e^0 + C2 e^0 Rightarrow 1 = C1 + C2 çã

Passo 7

Em seguida, precisamos da derivada da solução para aplicar a segunda condição $ y’(0) = 0 $. A derivada de $ y(t) $ é:
y'(0) = 0
Aplicando $ t = 0 $:
y(t)
Isso nos dá a equação:
y'(t) = 4 C1 e^4t - C2 e^-t çã

Passo 8

Agora, temos um sistema de equações:
C1 + C2 = 1 4 C1 - C2 = 0
Vamos somar as duas equações:
C1 + C2 + 4 C1 - C2 = 1 + 0 Rightarrow 5 C1 = 1 Rightarrow C1 = 15
Substituindo $ C_1 $ na Equação 1:
C1

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 15 e^4t + 45 e^-t

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