Encontre a solução para as seguintes EDOs lineares de segunda ordem.
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Passo 1
Beleza! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: $ y’’ - 3 y’ - 4 y = 0 $, com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. Vamos resolver essa EDO usando métodos de equações lineares. Para isso, precisamos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para descobrir as constantes envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação diferencial, que é $ y’’ - 3 y’ - 4 y = 0 $. Para isso, assumimos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo $ y = e^{rt} $ na equação diferencial, temos:
Podemos dividir todos os termos por $ e^{rt} $ (que nunca é zero), ficando com a equação característica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ r^2 - 3r - 4 = 0 $. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:
Passo 5
Com as raízes $ r_1 = 4 $ e $ r_2 = -1 $, a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Agora, aplicamos a primeira condição inicial $ y(0) = 1 $:
Isso nos dá a equação:
Passo 7
Em seguida, precisamos da derivada da solução para aplicar a segunda condição $ y’(0) = 0 $. A derivada de $ y(t) $ é:
Aplicando $ t = 0 $:
Isso nos dá a equação:
Passo 8
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos somar as duas equações:
Substituindo $ C_1 $ na Equação 1:
Resposta
A solução da equação diferencial é: